《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”，选取“时间”作为跨学科讨论的媒介，联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科，这些话题像一颗颗散落的珍珠，被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家，也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。
《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”，选取“时间”作为跨学科讨论的媒介，联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科，这些话题像一颗颗散落的珍珠，被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家，也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。
十二平均律的概述
中国乐器行业网 2011.07.27
一直以来，很多人不太明白十二平均律究竟是什么，在这里给读者简单介绍一些十二平均律。
十二平均律亦称“十二等程律”,是指将八度的音程按频率等比例地分
成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。
将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧。它的纯五度音程
的两个音的频率比(即 2 的 7/12 次方)与 1.5 非常接近，人耳基
本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别。同时，“十二平均律”的纯四度和大三度，两个音的频率比分别与
4/3 和 5/4
比较接近。也就是说，“十二平均律”的几个主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的，只有极小的差别，这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件，因为这些乐器是靠自然泛音级(如前文所述，自然泛音序列，其频率
是基音频率的整数倍序列，成等差数列)来形成音阶的。
半音是十二平均律组织中最小的音高距离。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的，因为只有
“十二平均律”才能方便地进行移调。
中国明代律学家朱载堉1581年首创“新法密率”，（见《律吕精义》、《乐律全书》），推算出将八度音等分为十二等分的算法，并制造出新法密率律管及新法密率弦乐器，是世界上最早的十二平均律乐器。这意味着中国的十二平均律比西方的十二平均律早出现了一百年。
西方人创造了钢琴的形体，中国人铸造了其灵魂。
将八度音等分为十二等分，其数学意义如下：
八度音指的是频率加倍。因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数，其结果就是每个音的频率为前一个音的2开12次方，即1.059463倍。
在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，Pere Marin
Mersenne在其所著《谐声通论》中发表相似的理论。
德国作曲家巴赫于1722年发表的《谐和音律曲集》（另或译为《十二平均律曲集》英文：《The
48》），有可能就是为十二平均律的键盘乐器所著。
十二音律有着悠久的历史意义和数学意义，它不仅是历史的载体，也是中国和西方的共同承载体。—-来自中华乐器网
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《时间之问21》登上《Nature》的音律高人（上）
《时间之问20》冬至大寒与黄钟大吕？
引子：100多年前，著名科学期刊《Nature》刊登了一封来自遥远东方学者的来信，探讨并指出了西方声学著作《声学》中的一个错误。《Nature》的编辑和审稿人惊奇地发现这个问题早在数百年前就被明朝朱载堉研究过，并且是以如此简单的实验方法得到的。
引子：朱载堉独居土屋十载，骨肉分离不得相见，人生进入了寒冬。他在人生极寒的冬至里看到了一阳复生的希望，看到了二阳来临、三阳开泰，最终从节气的变化里悟到了黄钟大吕的音律之谜。
一周后，学生和老师又见面了。
一周后，学生和老师在餐厅碰面了。
“上次我们说到朱载堉想出了计算十二等程律的方法，解决了三分损益法不能完美返宫的问题。”老师说道。
“上次我们说到的朱载堉是站在前辈的肩膀上攀上了音律世界的顶峰，他推开了关闭了一两千年的沉重的大门，为我们打开了另一个奇妙的音乐世界。”
老师说道。
“嗯，朱载堉做出了不可替代的贡献。”
“嗯，天时、地利、人和具备，太巧了。”
“不过，三分损益法也有可取之处，就像牛顿力学定律虽然无法准确计算接近光速的运动，远不如狭义相对论准确，但它在日常工程计算中仍管用。”
“可是我们上次却没有提到另一个重要的“人和”。”
“嗯，用朱载堉的十二等程律计算得到的第七律和五度非常接近，几乎听不出来。”
“哦，是吗？这个“人和”是谁？”
“不过，反过来说，相对论毕竟是对牛顿经典定律的一次革命性突破，而朱载堉的十二等程律也是对三分损益法的历史性创新。”
“朱载堉自己。”
“是的，可是我有一个问题，为什么偏偏是朱载堉而不是别人发现了十二等程律？”
“你是说他自身的才华吗？”
“你为什么这样问呢？”老师问道
“不全是。一个人能够以一己之力跨越千年的藩篱，虽然聪明才智不可或缺，但还有更重要的原因。”
“中国历史这么悠久，人才如此荟萃，朱载堉的前人就没有优秀的既懂音律又懂数学的奇才吗？这些人中难道就没有想到十二等程律吗？”
“那是什么？”
“哦，你说的对，朱载堉之前确实有过许多数学音乐奇才，他们对这个问题进行了深入研究。”
“你还记得年少时那些令他悲伤欲绝的家族恩怨吗？”
“他们是谁呢？”
“记得。”
“例如汉代的京房，他用三分损益法一直计算下去，得到了53个音律。为了和甲子60相对应，他又额外算了7个音律，最终达到了60律。”
“他的父亲无辜被关进高墙，自己被剥夺了王子冠带。朱载堉的人生仿佛跌进了冰洞，天空阴云密布，北风呼啸，雨雪交加。但中年以后，他渐渐看淡了世事无常。”
“哇！一个八度里有这么多音律。”
“那些家族恩怨渐渐在他心中随风而去？”
“可是，还有更多的呢！钱乐之继续用三分损益法算下去了，居然算到了三百六十律。”
“嗯，他避开尘世干扰，一头扎进另一个世界里。那里没有人世纷争和尔虞我诈。他静心无虑，潜心思考。即使重新恢复王子地位，他也从未想过动用手中的权力去报复当年的告发者，虽然这对于一个赢得皇上敬重的人来说这样做轻而易举。”
“三百六十律？！我怀疑他的耳朵到底有多灵敏，能在一个八度内区分出三百六十个不同的音调。”
“哦，他在做什么呢？”
“但无论是京房还是钱乐之，他们都紧紧攥着三分损益法不放，每隔音律是下一个音律的2/3或者4/3倍数，因为分数是有理数，所以所有的音律都是有理数，从未敢跳出这个范围，去无理数的世界里去尝试一下，所以仍存在不能返宫和音律不等距的问题。”
“他静静的，像一位沉静的儒者，平静的外表下面不再涌动仇恨与愤懑，而是充满了思考和喜乐。他沉浸在思考和计算中，孜孜不倦的追求一个谜一般的数字，追求一个完美的音律体系，追求能让音律完美返宫的方法。”
“难道没有人跳出三分损益法去寻找答案呢？”
“他为什么如此痴迷呢？”
“有，这个人是南北朝的何承天。你还记得吗？我们在谈论祖冲之的时候提到过何承天编制的历法，祖冲之对这个历法进行了修正。”
“因为他深信找到了这个完美的音乐体系，音律将永远和谐，音乐和上天完美呼应，礼乐将不再崩坏，国家将长治久安。”
“哦，我想起来了。”
编钟
“何承天认为三分损益法之所以不能返宫是因为在起始的黄钟音和终止的清黄钟音之间存在音差，他把这个音差平均分配到十二律当中，在十二律的音差部分形成了一个等差数列，这可以说是抛弃五度相生法的一个例子。”
“我知道了，你说的“人和”是指朱载堉内心的平静？”
“哦，那它的效果怎样呢？”
“我先讲一个故事吧，也许听完后我们会更好地理解他。”
“嗯，比较接近平均律。不过朱载堉认为何承天的做法是“强使还元，不能取信于人”。”
“好啊。”
“哦，朱载堉的意思是这个反复原理上讲不通？”
“故事的主人公也是明朝人，生活的年代比朱载堉父亲稍早，他也曾思考过音律的问题。在他和弟子留下的著作中，记录了这样一段对话。对话中“先生”和弟子“洪”讨论了音律的“元声”从何而来。”
“对。之后又有人对三分损益法进行了修正，例如刘焯的等差管律，王朴的纯正音阶律，蔡元达十八律。”
“哦，元声是什么？”
“等差数列？我们现在知道音律之间应该是等比数列吧？”
“元声就是黄钟之音。”
“对，隋朝的刘焯大胆违背三分损益法，构建了音律等差数列，虽然失败了，却为朱载堉打开最终的大门提供了借鉴，除了三分损益法其它方法也可以尝试。”
先生曰：古乐不作久矣。
洪要求元声不可得，恐于古乐亦难复。
先生曰：“你说元声在何处求？”
对曰：“古人制管侯气，恐是求元声之法。”
先生曰：“若要去葭灰黍离中求元声，却如水底捞月，如何可得？元声只在你心上求。”
曰：“心如何求？”
先生曰：“古人为治，先养得人心和平，然后作乐。比如在此歌诗，你的心气和平，听者自然悦泽兴起，只此便是元声之始。
”
“朱载堉对前人方法存在的问题都了解吗？”
“这段话里的先生是谁呢？”
“他心里一清二楚。虽然新的律法仍是迷雾重重，不过朱载堉对自己信心十足。他把自己创建的方法称为新法，而之前的叫旧法。”
“就是上次我们提到了与朱载堉的外舅祖何瑭同朝的大臣王阳明，他和弟子钱德洪对音乐有过一次探讨。”
“新法比旧法好在哪里呢？”
“这是怎么回事呢？”
“朱载堉认为新法相邻两个音律之间的比值更加准确，所以叫密率。后人把朱载堉的方法称为新法密率。”
“弟子说古代的黄钟之音已不可得，所以无法恢复大舜和孔子那种淳朴的古乐。先生反问：如何找到黄钟之音呢？弟子说：古人在冬至时刻在律管里装上烟灰，当冬至时刻到来之时，阳气上升，如果烟灰向上扬起，对应长度的律管就是黄钟。”
“旧法往而不返，别造新法。” –《律吕精义·内篇》
“哦，这方法听起来有点玄妙。”
“这个密率就是上次我们说过的1.059… 后面有24位小数吗？”
“嗯，先生说：恐怕这样求得的黄钟只是水中月而已。”
“对，就是我们上次说的对2先两次平方，然后开三次方得到的。”
“那怎么才能找到黄钟之音呢？”
“奇怪了，在加减乘除、乘方、开方这么多中运算方式中，朱载堉是怎么想到开方运算的，而且是先开平方、再开平方，然后开立方的？莫非他有神助？”
学生不解地问道。
“先生说：黄钟之音只能在心上求。”
“其实朱载堉本来也是相信三分损益法的，因为这个阵营声势浩大，为首的就是大名鼎鼎的学者朱熹。”
“在心上求？”
“哦，朱熹啊，一代理学宗师呢！” 学生惊叹道。
“嗯，弟子也不解这是何意，问：如何在心上求？先生说：大舜等古人治理天下，首先要自己人心和平，然后作乐曲，乐曲淳厚动听，听众才自然喜悦兴起，这个音便是元声的起始。”
“嗯，朱载堉冥思苦想古代的音律，可是久久不得其解。一天他抚琴放松一下。在悠扬的琴声中，朱载堉思绪开始在音乐中飘散开来。长久的音乐训练让他的耳朵异常灵敏，他似乎不是用耳朵来听音乐，而是直接用心灵来体察音律。”
“听起来有点道理。不过只要心气平和就能找到黄钟之音吗？” 学生问道。
“这境界一般人难以达到。”
“当然不是这么简单，但是如果人心不纯，私心杂虑涌动，曲调自然也杂乱，就算有精准的律管又有什么用呢？”
“琴声低沉时，他也情绪低落；琴声悠远，他的思绪也飘到了天尽头。当琴声再次低沉把他拉回现实时，他似乎觉察出琴音有些不对劲，可是又说不上来。个中滋味，恐怕只有自己心里清楚。”
“哦，所以首先要人心和平？”
“嗯。”
“对。朱载堉能够找到完美返宫的音律、找到黄锺逆生仲吕、循环无端的秘诀，首先要让内心沉静下来。”
“朱载堉低头看自己手指抚琴的位置，刚好是三分损益法所教导的方法，千真万确，一点都不错。这是无数宗师教导的方法，历经千年传习。”
“哦，这没那么容易吧。”
“对啊。”
“不论曾经遭遇哪些不平和白眼，不论曾经遭遇那些身世起伏，都要暂时放下，回归到一颗平和的内心。”
“可是朱载堉惊奇地发现，这个方法的琴位和琴音就是有那么一点不合。”
“嗯。”
“哦，到底哪里出了问题呢？”
“静谧深夜，朱载堉遥望星空，思考着乐律之谜。上天到底把谜底藏在哪里？他抚今追远，思考着古往今来的宇宙的秘密：春华秋实，花开花谢，是一年四季的轮回；日泽光华，旦复旦兮，是一昼夜的轮回；月盈月亏，是一月的轮回。”老师说道。
“朱载堉知道，抚琴比吹奏笛子复杂得多，一手在特定位置按住琴弦，另一只手弹琴。当琴弦按下的位置稍有不同，琴音就变得不一样了。如果严格按照三分损益法来抚琴，有些音之间的音差大，而有些音之间的音差小，并不均等，所以音调听起来忽高忽低。”
“嗯，万物周而复始，循环不已。”
“什么都逃不脱他那灵敏的耳朵！”
“可是朱载堉自问，他所挚爱的音律如何才能经过十二律回归到黄钟之音？”
“朱载堉昼夜思索，试图穷尽这背后的原因。他把古代从春秋战国到汉唐一直到最近的音律经典书籍都拿出来，逐一审查，什么也没有找到。但是当他用算盘一一验算这些律法时，音律背后的数字在他的算盘上突然变得清晰起来。”
“是啊，这是一个千年大哉问！”
“他有了什么发现？”
“对于他自己的人生遭遇而言，他已经搬出土屋，回到王宫。冬至已经过去，物极必反，否极泰来。你还记得吗？我们以前说过，冬至意味着阴极之至，阳气始生，从此以后阳气开始集聚，一阳生复，二阳来临，三阳开泰。”
“他突然发现，这些数字无论怎么计算，都无法穷尽。他终于豁然醒悟了！”
“嗯，我们说过冬至一阳生，是万物复苏的开始。”
“醒悟到什么了？”
星空
“这些都只是近似而已。虽然这些都是前人留下的珍宝，但朱载堉意志已决，不能膜拜这些先贤留下来的音律了。”
“对，朱载堉也开始从人生的冬至中复苏。极寒的终点意味着温暖的回归，而人生的低谷也预示着新的希望和追求。他从音乐中寻求慰藉，也寻求音乐的谜语。在人生际遇的巨变、和时节的渐变中，他体察到了音乐的变化。”老师说道。
“近似？前人算得都不够准确？”
“这是什么意思呢？”
“嗯，朱载堉认为，二千年来所有人都把古代音律奉为圭垚，从未有人怀疑。这些记录在经典书籍中的方法都不可信。朱载堉下定决心、抛弃三分损益法，自己尝试新的计算方法。”
“我想，对于一位跨越天文、历法、音乐、舞蹈多个领域的百科全书式的人物，朱载堉很自然地会从季节的变化中寻找答案吧。”
“但如果这样，他就孤单影只了。”
“哦，很有可能。”
“嗯，确实如此。他遇到了前未有过的困难。朱载堉意识到，只有计算得极为精确才有可能解开音律的最终奥秘。可是现有的工具却不够用了。”
“朱载堉知道，从冬至开始太阳每隔12个月多一点回归一次，是一年。而那个被称为岁星的木星每隔将近12年回归一次，是一个地支的轮回。”
“那他怎么办？”
“嗯。”
“他一不做二不休，干脆自己开始先发明了新的工具。他做了81档的双排算盘。加减乘除不够，他自己发明了开平方和开立方口诀。”
“但他也十分清楚，太阳回归并不是刚好12个朔望月，而是12.3682…个月，而木星的回归，也不是刚好12年，而是11.86…年。每个数字后面都有很多个小数位，似乎没有尽头，难道天意真的难测？朱载堉自问。”
“嗯，遇山开路，遇水架桥。”
“嗯，这个问题很难回答。”
“他操起大算盘，打得噼里啪啦响。打完算盘，得到一个数字，他把新计算出来的数值标记在琴弦旁边，以和三分损益法得到的位置作比较。他在这个位置上弹一下，验证是不是那个音。”
“可是，他经过努力推算已经把12.3682后面的小数部分变得又更加精确，准确性甚至超过了元代著名科学家郭守敬制定的“授时历”。”
“嗯，理论结合实践。”
“这会令他稍感欣慰吧？”
“他没日没夜地计算，反反复复弹琴验证。连王宫里的乐工们都觉得王子这些天不对劲，茶饭不思。乐工们看到朱载堉在琴弦旁边标注的新音律，很是好奇，于是攀谈起来。”
“是的，他想既然天意都有准时，何况音乐！但是他对两千年来音乐的研究很不满意！”
“他们谈了什么？”
“为什么呢？”
“朱载堉说这是他计算出来的新音律，并请教乐工如何找到最佳的音律位置。一位资深的乐工拱手说道：按照古法是“四折去一，三折去一”。说着无意听者有心，朱载堉眼前一亮，立刻在一堆凌乱的纸堆里找出一张算纸，上面有一串数字。他匆匆把这个数字打到算盘上，口中念念有词，指尖灵活地在圆润的算珠上飞来飞去。乐工们看呆了，悄悄地退到了一遍，面面相觑，默然不语。”
“朱载堉认为，历代的律家固守三分损益法，就像很久前的历法家认为一年有365又1/4天那样。”
“这是怎么了？”
“一年365.25天？那是春秋时期人们对一年长度的看法吧？”学生问道。
“一顿天昏地暗的日子之后，朱载堉的脸上挂上了久违的微笑。”
“对。朱载堉认为三分损益法就像一年365.25天一样，只是大概的数字，并不准确。但是自从汉代以来千余年，人们因为怀疑四分之一度不准而不断修正，到元代授时历已经准确到了365.2425天，这和目前的公历已经完全一致。但在律法上，二千年来人们却从来没有怀疑三分损益法，结果时间越久人们对其越是恭敬，不敢越雷池半步。”
“他悟出什么了？”
“哦，是啊，为什么会这样呢？”
“乐工所说的四折、三折，正是朱载堉想要的。”
“朱载堉不禁大声质问，为何研究律法和历法的人智力水平相当，历法不断进步，而音律则原地踏步，为何相差如此悬殊呢？”
“他想要的什么？”
盖律家所谓三分损其一者，犹历家所谓四分度之一也，皆大略之率耳。自汉刘洪以来千有余载，疑四分度之一者疑之转深而转密；信三分损其一者信之弥久而弥竦：何律历二家愚智相较、霄壤相悬也！—
朱载堉 《律吕精义·序》
“四折去一、三折去一里的“折”，本意是把琴弦折叠，是乐工在琴上找位置的口诀。但对于朱载堉这样的数学家来说，“折”意味着开方。”
“这就是怀疑和笃信的区别吧？！”
“啊哈！一语双关，惊醒梦中人！”学生惊叹道。
“对，怀疑是科学进步的驱动力。朱载堉认为只要有质疑精神，同样可以把音乐计算得像历法一样精准。”
“朱载堉惊喜地发现：四折就是开四次方（也就是开两次平方），三折就是开立方，先开四次方再开三次方，总共就是开十二次方，他去算盘上演算，果然能够完美返宫，得到了梦寐以求的十二等程律！”
“哦，他这么说的依据是什么呢？”
“哇，巧了！”
“因为朱载堉相信，音乐生于数字，数字和音乐本是一家。如不信，则可以用计算出来的数字和琴音相比对，它们一定吻合得严丝无缝。”
“虽然思考的过程只有朱载堉心里清楚，不过在虚虚实实之中，朱载堉捅破了那一层窗户纸，找到了通往音乐殿堂的神秘数字，他激动地把这一段经历特意记录下来。”
夫音生于数也，数真则音无不合也… 数与琴音互相校正，最为吻合。
臣尝宗朱熹之说，依古三分损益之法以求琴之律位。见律位与琴音不相协而疑之，昼夜思索，穷究此理。一旦豁然有悟，始知古四种律皆近似之音耳。此乃二千年间言律学者之所未觉。惟琴家按徽，其法四折去一，三折去一，俗工口传，莫知从来。疑必古人遗法如此，特记载于文字耳。—《律吕新说·卷一
密率相求第三》
“哦，只有深刻理解数学的人才会这么想吧？”
“那接下来，朱载堉怎么验证他的十二等程律是对的呢？”
“对，朱载堉平生最大爱好不是别的，正是数学。不仅酷爱，他总是要固执地把数字的精度计算到极限。他相信，既然历法家能够把回归年长度计算得分毫不差，他同样可以用数学把音律的比值计算得分毫不差。他用大算盘一遍一遍不厌其烦地演算，得到一个数字就记下来，积累了很多数字之后，再计算他们之间的比值，久而久之，他豁然开朗了。”
“既然要用实验验证，就必须有用十二等程律制成的乐器，还要有用十二等程律写成的乐曲。”
余为人无所长，惟算术是好。因其所好而益穷之，以至求乎其极。用力既久，豁然贯通。。。
“朱载堉找人去制作乐器和谱曲了？”
“他领悟到什么了？”
“不，都是他一个人做的。”
“朱载堉发现，这些雅乐的高深之理，完全可以用浅显的语言清清楚楚地表达出来。而那些别人看似迂腐繁杂的乐律学问，却在他的数字聚光灯下原形毕现。音律不再是三分损益法得到的那些近似数值，而可以用非常精准的数字描述的分毫不差。”
“不会吧？！我听说数学学得好的，弹琴弹的好，手工很巧的，作曲有灵感的，但是同时把这些都摆弄的很厉害的，朱载堉是独一人。那他是怎么做的？”
以浅近之辞，发挥高深之理，以幽微之数，研究迂阔之学，得其精而忘其粗。
“首先朱载堉自己制作了音高标准的律管。他采集了金门山竹，选取那些长节的小竹子，所有竹子都要粗细相等，然后做成三十六根长短不一的律管，正律十二代表中音，倍律十二代表低音，半律十二代表高音。”
“那他受到什么启发？”
竹
“他想，既然从冬至到下一个冬至是一个轮回，那么从黄钟到下一个清黄钟也应该是一个轮回，两者都是一个完美的圆形。”
“可是竹子不易长时间保存吧？”
“圆形？”
“对，他还制作了铜制律管。在他著作里他详细描述了如何制作沙模、烘干、浇铸、钻孔、抛光、截断，最后镀金的一系列工序。”
“对，既然要完美返宫，最完美的形状就是圆形。只有把圆形等分之后，每一份才是均等的。”
“简直一个高级技工。”
“节气和音律怎么对应呢？” 学生问道。
“律管做成后，就可以做听音实验了，务必保证八度相和、五度相和。”
“你看，从冬至出发，经历春分、夏至、秋分再回到冬至，刚好经历了一年。而在音律上，从黄钟音开始，逐渐缩短律管长，就有了大吕、太簇、夹钟…
，当律管长减小到黄钟音律管长的一半时，刚好经历了十二律，音调变大了两倍，回归到了清黄钟音。”
“嗯，然后就可以制作乐器并调音了？”
黄钟－大吕－太簇－夹钟－姑冼－仲吕－蕤宾－林钟－夷则－南吕－无射－应钟
- 清黄钟
“对，之后朱载堉制作了各种十二等程律乐器，有编管、排箫、笛、笙、琴瑟、钟磬等。他创造了世界上种类最多的十二等程律乐器。除此之外，朱载堉还制作了均准来定音律。”
“哦，是啊，它们都是回归。”
“均准是什么？”
节气与音律的对应关系
“它是一件用于定音律的弦乐器，有多根弦，本身就是一件乐器，也是世界上最早的基于十二等程律的弦乐器。”
“对。从黄钟音到清黄钟总共是十二律。朱载堉想，能不能找到一种方法把黄钟到清黄钟之间等分为12份？”
“哦，我想起来了，钢琴的里面其实也是琴弦。”
“就像等分一年的节气那样？”
“对，而且现代钢琴也是按照等程律来定律的，所以朱载堉创造的均准可以说是现代钢琴调音定律的始祖。”
老师说道。
“对。如果把音律比作历法，那12个相邻的律就是12个中气，也就是12个节点。”
“难怪刘半农先生称赞到“全世界文明各国的乐器，有十分之八九都要依着他的方法造”。”
“哦，是啊。” 学生若有所思。
“在制作十二等程律标准律管的过程中，朱载堉又有了一个重要发现—管乐器的管口效应。这个发现在三百年后于十九世纪末竟然登上了著名的学术期刊《自然(Nature)》。”
“如果能找到一种均分的音律体系，这样从黄钟音出发，既可以从高音旋转到低音，又可以从低音旋转到高音，这样无论怎么转调都不会跑偏，就可以实现完美返宫。”
“哦，什么能够吸引《Nature》的眼光呢？”
“这真是一个绝妙的主意！那如何均分音律？”
“我们知道，笛子、箫等管乐器有一个开口，这个开口会影响律管的声调大小。对于琴弦等弦乐器来说，弦长减半，音调刚好提高八度。但是对于开口的管乐器，管长减半，音调变化却不是八度。”
“还记得吗？我们以前讲过，商朝时只有四个节气，两分两至，把一年等分为四份。而最先被测定的是冬至和夏至，因为它们的影长分别是最长和最短的，那么有了冬至和夏至就把一年二等分了。”
“那是几度呢？”
“嗯，是这样的。”
“朱载堉用各种长度和内径的律管做实验，并比较律管和弦乐器的差别。他发现开口律管长度减半，发音都将比正常的音调降低一律。管长减半，音调变化不是刚好八度，而是大七度。”
“这样就迈出了24等分的第一步。接下来把冬至和夏至之间的时间继续二等分，就找到了秋分和春分。”
以竹或笔管制黄钟之律一样两枚，截其一枚分作两段，全律、半律各令一人吹之，声不必相合矣。此昭然可验也。
“嗯。”
“什么原因引起的呢？”
“接下来，把这四个节气之间的时间都作三等分，就找到了所有12个中气的对应的时刻。最后一步，把相邻中气之间的时间二等分，就找到了其余12个节气的时刻。所以首先要把黄钟到清黄钟的八度作二等分。”
“今天我们知道，这是因为开口律管内的空气柱要稍微超出管长，相当于管长变长，所以管音要降低一些。这就是管乐器的末端效应。朱载堉发现了这个现象，并且给出了校准的方法。”
“那他是如何二等分的呢？”
管口效应
“如果黄钟音的律管是2，清黄钟音律管是1，这两个音之间的等距的音律叫蕤宾。”
“这跟《Nature》杂志有什么关系呢？”
“这么说，等分黄钟和清黄钟的蕤宾的律管应该是1.5？” 学生问道。
“到了清朝末年，江南制造局成立了编译馆，著名学者徐寿任总管。我们现在使用的元素周期表里的大部分元素名称，就是他们翻译过来了。编译局翻译的各国科学著作有英国物理学家John
Tyndall教授的《声学》(On
sounds)。徐寿研读了这本书后，亲自做实验，发现里面竟然有一个错误。”
“不，你忘记了吗？音乐讲求的比值而不是差值。” 老师说道。
清末科学家徐寿
“是哦，我差点忘记这一点了。那1和2中间的数应该是多少呢？让我想想，是根号2吧？”
“什么错误？”
“正解！只有根号2才是1和2之间的等比中间值。”
“书中提到，开口管里的振动模式的个数与管子的长度成反比。换句话说，笛子长度减半，声调提高八度。徐寿认为这一点不准确，需要修正才行。”
“既然黄钟和清黄钟之间是八度，那么位于中间的蕤宾距离黄钟就是四度或者半八度了？”学生突然想到了这个。
“哦，这不是朱载堉曾经提到的管口效应吗？”
“你说得很对。不过朱载堉不是这么算的，他是用非常直观的图示来求解的。”
“对。为了验证他的观点，徐寿用开口的乐器做了实验，发现长度9英寸的黄铜管发出的声音频率并不是4.5寸的黄铜管频率的八度，而是要缩短到4寸才是八度关系。”
“哦？怎么作图呢？”
“嗯，这和朱载堉都观察到的现象是一样的。”
“朱载堉采用了《周髀算经》里的圆方图和方圆图。圆方图就是圆内接一个正方形，而方圆图刚好相反，是圆外切一个正方形。”
“徐寿把自己的实验结果写了下来，并写了一封信，请当时编译局的英国传教士傅雅兰把信件翻译为英文，分别寄给了John
Tyndall教授和《自然》杂志。”
圆方图与方圆图
“他在信里写了什么？”
“这两个图形有什么玄妙之处？”
“信中他解释了自己的疑惑和实验，并且说：中国明朝朱载堉已经观察到，律管减半或者加倍，音调变化八度这一规律仅对弦乐器有效，而对开口的管乐器则无效。”
“圆方图的圆的直径d刚好等于边长为a正方形的斜边。根据勾股定理，正方形的边长与斜边的比值为根号2，所以圆的直径等于正方形边长的根号2倍。”
“后来呢？”
“根号2?! 啊，朱载堉是这样找到四度关系的！” 学生惊讶地叫道。
“《自然》杂志收到来信后，邀请声学博士斯通Stone审稿。斯通博士对此很感兴趣，他把自己的意见附在信后，他写道：
“是啊，根号2刚好是八度的一半。”
“很有意思的是，证实这个鲜为人知的事实却是来自遥远的东方，而且是以如此简单的实验方法得到的。”
“是的。那方圆图呢？”
“是啊，朱载堉和徐寿的实验如此简易有效。”
“也有根号2的关系，你看，方圆图的正方形的斜边是圆直径的根号2倍，也是八度的一半。”
“杂志编辑也在信上添加了按语，并且添加了标题“中国的声学”加以发表。”
“嗯，接下来呢？”
“看来，发现对旧定律的真正有科学意义的现代修正却来自中国，并且以最原始的器具证明该修正是有依据的。”
“Acoustics in China”, Naure vol.23 (1880.11-1881.4), pp.448-449
(1881.3.10)
“接下来就好办了，我们在圆形上外切一个正方形，这个新的大正方形的斜边又是圆形直径的根号2倍；再继续在大正方形上接一个大圆形，这个大圆的直径又是大正方形的根号2倍。”
“嗯，几百年后朱载堉的发现终于在世界的另一头得到了响应。”
圆方嵌套图：黄钟1：蕤宾根号2：清黄钟2，中间相差两个四度，即八度
Nature刊登的《中国声学》
“嗯，果然如此，有点奇妙，这刚好是黄钟蕤宾的间距，也就是半个八度。”
“对，这样下去，一个正方形接着一个圆形，一个圆形又接着一个正方形，后一个圆形总是前一个方形的根号2倍，后一个方形也是前一个圆形的根号2倍，仿佛是把十二律等分为相等的两份，也就是把八度刚好分成两个半八度。”
未完，待续…
“哇，太巧了！这样就实现了二等分。”
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“对，这相当于找到了冬至和夏至，也就是把一年分为两半。”老师说道。
“那如何实现四等分呢？也就是找到南吕和无射这两律对应的数值。”
参考文献
- 刘半农《十二等程律发明者朱载堉》 1933
- 李约瑟
主编，《中国科学技术史》第四卷第一分册，科学出版社，上海古籍出版社 - 程贞一 《黄钟大吕—中国古代和十六世纪声学成就》，上海科技教育出版社
2007年8月 - 戴念祖 《朱载堉—明代的科学和艺术巨星》人民出版社 2011
- 卓仁祥《东西方文化视野中的朱载堉及其学术成就》，中央音乐学院出版社
2009年5月第一版，隆玉麟译
“应用同样的原则，就会发现从蕤宾到南吕的比值等于从南吕到黄钟的比值。这样南吕就应该是蕤宾和黄钟的等比分界点。”
“嗯，同意。”
“从蕤宾和黄钟是根号2，所以其一半就是把根号2继续开平方，也就是2的4次方。”
“现在已经完成四等分了。”学生说道。
“对，这相当于在夏至和冬至之间找到春分和秋分。”
“离十二等分只差一步之遥了。”
“最后，把任意两个四等分之间音律平分三份就可以了。所以继续把四等分之间的比值开三次方，也就是把2的4次方继续开立方，就得到了2的12次方。这就是任意相邻两律之间的音程，相当于任意两个中气之间的间隔，比如从应钟到黄钟。”
“嗯，原理搞清楚了，那怎么计算呢？”
“朱载堉需要先计算2的平方，然后开方，最后再开立方。”
“不过，2的开方计算不是那么简单吧？”学生问道。
“是啊，我们现在知道，根号2是无理数，有无穷个小数位，可朱载堉那时还没有计算器呢！更何况要计算2的12次方！”
“是啊，上天似乎出了一道难题，来考验朱载堉的智慧。”
“虽然朱载堉没有计算机，但是他有算盘。”
“算盘？算盘不是做加减乘除的吗？还能用来开平方？开立方？”
“据文献记载，朱载堉之前确实没有人用算盘做过开方。他应该是世界上第一个用算盘开平方、开立方的人。”
“哇。我记得用算盘计算需要口诀的，莫非他自编了一套开方口诀？”
“正是。例如朱载堉开立方口诀：“一已上开一，八已上开二，二十七已上开三…”
“我的天哪！”
“那个时代，算盘是世界上最先进的演算工具。朱载堉在计算比值时发现，开根号得到的数值必须非常精确。我先考考你，第一个数值根号2，你还记得等于多少吗？”
“哦，1.414吧。”
“这是三位小数，精度远远不够。”
“那朱载堉要用算盘计算到多少位小数？”
“你大胆猜一猜！”
“10位？”
“为什么？”
“因为我的手机里的计算器是10位。”
“大胆一些，继续猜！”
“天哪，比我的手机还强大！15位？”
“再大胆些！”
“20位应该到极限了吧？！” 学生咽了咽口水说道。
“No! 是24位！”
“我的那个神呀！心肝都要跳出来了。难怪清代的著名学者江永“一见而屈服”，不服不行啊！”学生感叹道。
“是啊，光用汉字写下这串数字都要好几分钟，别说算了。精确到小数点后24位，这称得上算学上的奇迹了。”
“24位小数，那他用的算盘得有多大？”
“总共九九八十一档！连起来有几米长。”
“前无古人，恐怕后来人也寥寥无几。”
“为了穷经音律的秘密，朱载堉可谓煞费苦心。用算盘计算的时候，朱载堉还发现了一个快速计算的诀窍。”
“计算什么？”
“九进制小数和十进制小数的转换。”
“进制转换？这不是计算机里常用的操作吗？”
“对，不过计算机是在二进制和十进制之间转换，朱载堉却是在九进制和十进制之间转换，但是基本的原理却是一样的。西方的进制转换是德国的莱布尼兹于1701年发明的，但朱载堉的进制转换比莱布尼兹提早了百余年。”
“那朱载堉是为什么要做进制转换的？”
“因为三分损益法以九寸作为黄钟，而朱载堉自己提出的十二等程律以一尺也就是十寸作为黄钟，所以二者之间需要频繁转换。”
“哦，朱载堉如何转换呢？”
“朱载堉所做的转换，不是整数的转换，而是小数的转换，非常复杂。例如，九进制的0.8376转换为十进制就是0.936442。”
“我的头有点大，朱载堉想到了什么好办法？”学生问道。
“朱载堉用算盘计算，例如从九进制转换为十进制，他从低位算起，用九除一遍，移位再用九除一遍，以此类推。因为每次总有一些数位不参与计算，计算变得简单；而且在算盘上移位非常简单，每一步计算的结果都保留在算盘上，所以敲打几次算盘之后，计算结果就跃然而出。”
九除第一遍：8.376/0.9=8.37666 (8.37不参与计算)
九除第二遍：8.3666/0.9=8.38518 (8.3不参与计算)
九除第三遍：8.38518/0.9=8.42798 (8不参与计算)
九除第四遍：8.42798/0.9=9.36442
“真是奇思妙想。”
“有了这巨型算盘和朱载堉自创的开方口诀和进制转换妙法，朱载堉实际上拥有了当时世界上最先进的计算工具。这套工具一旦开动起来，世界为之震颤。”
“我的心也在震颤。”
“最后，朱载堉终于计算除了2的12次方等于1.059463094359295264561825。”
“佩服得不行了。”
朱载堉得到的2的12次方的数值：1.059463094359295264561825
“因为相邻音律之间都是这个比值，所以从1出发，逐个乘以2的12次方，就得到了每个音律的数值。”
律名 比率
正黄钟 1.000000000000000000000000
倍应锺 1.059463094359295264561825
倍无射 1.122462048309372981433533
倍南吕 1.189207115002721066717500
倍夷则 1.259921049894873164767211
倍林锺 1.334839854170034364830832
倍蕤宾 1.414213562373095048801689
倍仲吕 1.498307076876681498799281
倍姑洗 1.587401051968199474751706
倍夹锺 1.681792830507429086062251
倍太蔟 1.781797436280678609480452
倍大吕 1.887748625363386993283826
倍黄钟 2.000000000000000000000000
“哇，大功告成！”
“嗯，看着这组奇妙的数字，朱载堉不禁自嘲。”
“自嘲什么？”
“他说自己不过是在搞那种无用的“屠龙”之术，有其巧而无其用。”
全同相马，有其巧而无其用。殆似屠龙，一以自喜，一以自笑。安知来世读吾书者，不喜吾之所喜，而笑吾之所笑哉。
“那可不一定，有时候无用之用，堪称大用。”
“嗯。不过他接着说：谁能料到后世之人再读到我的书，不会欢喜我所欢喜的？不会像我一样发出会心之笑？！”老师说道。
“嗯，何其自信！”
“有了这个神奇的数字，朱载堉的十二等程律还差最后一步就可以完工了。”
“哦，是吗？我以为已经完工了，还差哪一步呢？”学生问道。
“生律方法！”
“这是什么意思？”
“就是如何从任一律出发产生出所有其它音律。我们对比一下十二等程律和三分损益法的生律方法，就会发现朱载堉的十二等程律的优点了。”
“好的。那三分损益法是如何生律的？”
五度相生.png
“三分损益法的生律法叫隔八相生 。”
“是什么意思？”
“举一个例子你就明白了。从do音升高五度，频率增大3/2倍，就得到了so音。从do到so，在钢琴上是八个等距的半音，所以叫隔八相生。”
“为什么是八个呢？”
“你看，从do出发，算上黑键，也算上起始的do和结束的so，总共是do, do#, re,
re#, mi, fa, fa#和so八个音。”
“原来如此。那继续升高五度呢？还是隔八相生吗？”
“我们可以继续验证一下。从so出发升高五度，得到了高音re，超过了八度范围，所以降低八度回到re，这时频率又增大了3/2倍后降低了2倍，变成了9/8倍。”
“怎么找到八个半音呢？”
“我们仍按照刚才的方法，从so出发，有so, so#, la, la#, si，之后就回到do,
因为降低了八度，接下来是do#和re，总共还是八个半音。”
“有点意思，有点像我以前玩的打怪游戏，当怪物从屏幕右边消失的时候，它又会从屏幕左边回来。移动到琴键最右边的si之后，又从键盘的最左边的do回来了。”学生说道。
“你比喻得很恰当，确实如此。三分损益法只能单向从左向右生律。”
“哦，是啊。那十二等程律呢？也是单向的吗？”
“不，它突破了隔八相生的单一方法，可以正向也可以反向，总共四种方法生律。”老师说道。
新法不拘隔八相生，而相生有四法，或左旋或右旋，皆循环无端也，以证三分损益往而不返之误。
“哇，是哪四种呢？”
“朱载堉的著作里花了四段文字描述这这四种方法，不过我们不需要那么麻烦，只需做一个跳棋的小游戏就可以找到这四种方法。”
“哦，是吗？六角跳棋吗？”
“不，是我发明的一个小游戏。拿一个石英钟，平放。拿一颗跳棋放在12点位置。”
“如果没有石英钟呢？在纸上画一个可以吗？”
“当然可以。这个游戏的规则是，如果以12点的位置作为黄钟音，其余11个小时作为其余的十一个音律。那么从12点出发，每次跳的步数一样，怎样跳可以把所有的小时数字都跳一遍，不多不少。”
“哦，这不是很简单吗？我立刻就想到两种。第一种就是顺时针，从12点到1点，然后2点，最后回到11和12点。第二种是逆时针，从12点到11点、10点，然后回到1点和12点。”学生说道。
顺时针-隔二相生产生十二律
“嗯，正解。你的步长是1，分别用正向和反向旋转，或者说步长分别是1和11的正向旋转。可是还有两种方法，就不是一眼能看出来了。”老师说道。
“哦，我再试试。如果步长是2，那么从12出发，就是2、4、6、8、10、12，只能跳到偶数，而没法到达奇数。如果步数是3，只能到达3、6、9、12这四个数字。如果步长是4，只能到达4、8、12这三个数字。都没法产生十二个音律。”学生说道。
步长为2，只能生成六律，无法产生十二律
“对，再试试其它的步长。”
“如果步长是5，可以到达5、10、3（15）、8（20）、1、6、11、4（16）、9（21）、2、7、12点，回到了12点。刚好每一个数字都跳过了，不重复也不少。这算一种生律方法吧？”
学生问道。
“对，算上跳棋的起始数字和结束数字，例如从5到10总共6个数字，所以叫隔六相生。跳12次回到出发点，完美返宫。”
步长为5，隔六相生，可以生成十二律
“有意思。如果一次跳6步、8步、9步和10步，都没法把每一个点跳到。如果一次跳11步，拿就和逆时针一次跳一步一样。”
“现在，只剩下跳7步了。” 老师说道。
“好，最后再试一次：从12出发，分别是7、2（14）、9、4（16）、11、6（18）、1（13）、8、3（15）、10、5（17）、12。回到12，不多不少刚好12次，没有重复也没有遗漏。这是第四种生律方法吧？”
学生问道。
步长为7，隔八相生，可以生成十二律
“对，因为每次的步数是7，加上首尾两步，所以是八步，也就是隔八相生，这其实就是三分损益法。”
“哦，看来三分损益法的生律只是十二等程律的一种情况而已。”
“对，三分损益法只能隔八相生。”
“如果做一个逆时针的隔八相生会怎样呢？”
“那就刚好是隔六相生了。”老师补充道。
“哦，是啊，隔八相生和隔六相生刚好是顺时针和逆时针关系。”
“这后两种方法正是朱载堉的父亲朱厚烷教导他的：仲吕顺生黄钟，返本还元；黄钟逆生仲吕，循环无端。无论正旋还是反旋，都能生律，十二等程律都能顺利返宫。”
老师说道。
“哇，真有先见之明！这对父子真是奇人！”
“嗯，有其父必有其子。”
“对了，我有一个问题，这样得到十二等程律与三分损益法相比有什么不同？”
“其实，如果在有限的几个八度内，二者差别不大。用耳朵很难区分出来，这其实是好事。”
“为什么呢？”
“比如用三分损益法得到的五度，音律比值是1.5，而用十二等程律得到的音律比值是2的7/12次方，等于1.4983，二者差别如此之小，以至于一般人很难察觉出来。”
平均律
“哦，所以等程律得到的第七个音律和三分损益法得到的五度没有什么区别？”学生问道。
“对，听起来非常和谐。”
“那如果在很宽广的音域内呢？”
“那十二等程律的优势就体现出来了，例如在一些现代电子音乐中，它可以随意转调。”
“哦，既和谐又随意转调，十二等程律集悦耳和转调优点于一身。” 学生赞叹道。
“总结一下，朱载堉的十二等程律解决了历代律法的三大误区和缺陷：黄钟之长定为九寸；三分损益不能返宫；只能隔八相生。”
“我在想，这么优雅而精准的音律，朱载堉之前的人为什么没有想到呢？”
“今天时间不多了，我们下次再聊吧！”
“好的！老师再见！”
“再见！”
关于作者：笔名偶遇科学，喜欢探求事物背后的原因和不同学科的联系，寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了严谨的思辨精神，更让他明白了科学背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的固定约会，话题无所不包，一起发现科学、并享受思考的乐趣。
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参考文献
- 刘半农《十二等程律发明者朱载堉》 1933
- 李约瑟
主编，《中国科学技术史》第四卷第一分册，科学出版社，上海古籍出版社 - 程贞一 《黄钟大吕—中国古代和十六世纪声学成就》，上海科技教育出版社
2007年8月 - 戴念祖 《朱载堉—明代的科学和艺术巨星》人民出版社 2011
- 卓仁祥《东西方文化视野中的朱载堉及其学术成就》，中央音乐学院出版社
2009年5月第一版，隆玉麟译